непротиворечивости своих аксиом, пока Бертран Рассел не открыл, что одна из них противоречит самой себе. Возможно, когда-то в будущем новый Рассел покажет нам парадокс, следующий из аксиом Пеано, и скажет, что они все-таки противоречивы.
Следовательно, мы не можем хвастаться своим превосходством над компьютерами, поскольку никогда не будем уверенными в том, что наши семантические рассуждения верны. Нам нужно свыкнуться с возможностью того, что в будущем все (или почти все) наши рассуждения окажутся неверными.
Дискуссия, начатая с открытия парадокса Рассела, так и не закончилась. Три предположения, которые были сделаны в начале XX века, — интуиционизм, логицизм и формализм (или программа Гильберта) — провалились по разным причинам и не были заменены другой программой аналогичного уровня. Какова природа математических объектов? Существует ли промежуточный уровень между чисто синтаксическими и семантическими рассуждениями, который позволил бы превзойти неполноту теорем Гёделя, в то же время обеспечив непротиворечивость? Действительно ли существует категорическая разница между синтаксическим и семантическим? Или понятия, которые мы называем семантическими, являются всего лишь более сложными синтаксическими понятиями (в которых работают с группами символов вместо индивидуальных символов)? Существует еще много подобных вопросов, ответы на которые не найдены... к счастью.
Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств. Так же как и его друг Альберт Эйнштейн, он оспаривал догмы современной науки, и точно так же в его жизни присутствовали война и изгнание.
Список рекомендуемой литературы
Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010. Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007. Godel, K., Sobrepropositions formalmente indetidibles de los Principia Mathematica у sistemas afines, Oviedo, KRK Ediciones, 2006. Hofstadter, D., Godel, Eschery Bach (Un etemo у grdcil bucle), Barcelona, Tusquets, 1992. Kline, M., Matemdticas, la perdida de la incertidumbre, Mexico D.F., Siglo Veintiuno Editores, 1998. Martinez, G., Pineiro, G., Godel V (para todos), Barcelona, Destino, 2010. Martinon, A. (compilador), Las matemdticas del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000. Nagel, E., Newman, J., El teorema de Godel, Madrid, Tecnos, 1994. Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx: de los conjuntos a la complejidad, Buenos Aires, Katz Editores, 2006. Smullyan, R,,Juegos por siempre misteriosos, Barcelona, Gedisa, 1988. Stewart, I., Historia de las matemdticas, Madrid, Critica, 2008.Указатель
Аристотель 18-21, 37, 65 арифметика 22, 33, 35, 44-48, 51, 54, 58, 60, 62, 63, 64, 69, 73, 76-78, 81, 83, 84, 107, 108, 110, 112, 115-117, 155-157, 160 Архимед 24 бесконечность актуальная 19-24, 28, 29, 31, 35, 37, 43, 44 потенциальная 19, 20, 22, 25, 28 Борель, Эмиль 10, 11 Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян 37, 38, 40, 47, 48, 56 Вена 13, 17, 18, 41, 53-57, 67, 90, 92-94, 96, 121, 126, 148 Венский кружок 13, 56-57, 67, 93, 121 Вселенная 21, 101, 124, 126, 127, 156, 157, 158 вращающаяся 123-128 Гёделя 124 Галилей, Галилео 21-23, 29, 37 Гаусс, Иоганн Карл Фридрих 23 Гейне, Эдуард 25, 28 Гейтинг, Аренд 48, 96 Герон Александрийский 45 Гёте, Иоганн Вольфганг фон 54 теория цвета 53, 54 Гиббсовская лекция 13, 149-155 Гильберт, Давид проблемы 7, 8, 42, 45, 46, 56, 65, 128, 137 программа 43-49, 51, 56-58, 61, 64, 65, 68, 74, 84, 87, 96-99, 106-108, 115, 150, 155, 156, 159, 161, 162 гипотеза континуум 43, 128, 136-138, 141, 151, 152 Римана 8 Гольдбах, Кристиан 108 Гольдбаха гипотеза 8, 9, 10, 108 Гудстейна теорема 80, 81 Джинс, Джеймс Хопвуд 126, 127, 140 диагональная функция 78, 79, 110 доказательство семантическое 157, 159, 160 синтаксическое 97, 99, 101, 103, 104, 107, 109-111, 113, 115, 139 единственность 26, 28, 137 разложения на простые числа 28 интуиционизм 36-43, 47, 48, 150, 161 Кантор, Георг 23-25, 28-32, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 128, 130-132, 136, 137, 141, 151, 152 Кантора диагональный метод 132-136 код 70-74, 76-82, 109, 110, 111, 113, 114, 116, 117 концептография 32 Коэн, Пол Джозеф 43, 137, 138, 141.152 Кронекер, Леопольд 25, 30, 31, 38 логицизм 36-43, 48, 161 множество 29, 30, 33, 34, 36, 46, 51, 58, 60, 65, 66, 73, 84, 85, 89-91, 99, 101, 103-106, 108, 109, 112, 113, 115-118, 128, 130-132, 134, 136-138, 141, 154-156, 159 бесконечное 28, 29, 128, 130— 32, 154 кардинальное число 128-134, 136, 138, 141 конечное 128, 130 теория 29, 30, 31, 33, 40, 41, 43, 44, 81, 127, 138, 141, 151, 152, 154 множество аксиом 46, 58,60,65, 66,73,89,90,101,103-106, 108,109,112,113,115-118, 155,156,159 неполное 106,109 непротиворечивое 101,103, 106,108,109,112-118,124, 151, 156, 159, 161 омега-непротиворечивое 112 полное 106, 108, 115 противоречивое 103-106, 116, 156, 161 модель 139-141, 153, 154, 157 Моргенштерн, Оскар 91, 122, 147, 148 "Начала" (Евклид) 22, 158 Нейман, Джон фон 48, 49, 91, 94, 146, 148 относительности теория 12, 55, 119, 123, 124, 126, 127, 140 парадокс лжеца 36, 83, 100 Пеано, Джузеппе 46 аксиомы 46, 60, 84, 155-157, 159-161 Планк, Макс 57 Планка принцип 31 платонизм 149-151 понятия семантические 96-100, 104, 156, 157, 159-162 синтаксические 96-99, 101, 103, 104, 106, 109, 115, 151-153, 162 Поркерт, Адель 13, 93-95 правила логики 60, 63, 66, 104, 111, 150, 157 синтаксические 104 Принстон, Институт перспективных исследований 13, 55, 90- 92, 96, 119, 121-123, 125-127, 145-148 Рассел, Бертран 11, 19, 31-37, 56, 70, 100, 104, 105, 124, 161 Рассела парадокс 34, 36, 43, 60, 100, 105, 154, 161 самореференция 36 метод 78-84, 110 семантическая 100 синтаксическая 100 теорема о неполноте (вторая теорема) 49, 65, 90, 106, 117, 143, 149, 152, 156, 160, 162 о неполноте (первая теорема) 7, 13, 41, 48, 51, 57, 64-68, 70, 82, 84, 87, 89, 90, 96, 97-99, 101, 109, 115, 117, 138, 143, 149, 152, 153, 160, 162 о полноте 57, 58-65, 85 Уайлс, Эндрю 59, 75, 85 Ферма теорема 59, 75, 84 формализм 48, 150, 151, 161 Фреге, Готлоб 19, 31-33, 35, 36, 44, 104, 105, 161 Фуртвенглер, Филипп 13, 54, 55, 67 Фурье ряды 25-26, 137 Чёрч, Алонзо 91, 92 число Гёделя 70-74, 76-79, 109, 116, 117 действительное 132, 134, 136 иррациональное 39, 40, 44 квадратное 22, 23, 29, 130 нормальное 10, 11 простое 8, 9, 22, 26-29, 38, 39, 58, 74, 76-78, 83, 99, 100, 102, 103, 107, 108, 116, 117 целое 26, 131, 132, 134, 139, 140 Шлик, Мориц 13, 56, 57, 93 Эйделотт, Франклин Риджвей 145, 146 Эйнштейн, Альберт 13, 18, 55, 90, 91, 94, 119, 122-126, 141, 146, 147, 161Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств. Так же как и его друг Альберт Эйнштейн, он оспаривал догмы современной науки, и точно так же в его жизни присутствовали война и изгнание.