относится к 1747 году. Два числа считаются дружественными, если сумма собственных делителей одного равна другому и наоборот. Это арифметическое понятие "дружбы" можно проиллюстрировать следующим примером. Возьмем числа 220 и 284. Собственными делителями 220 будут 1, 2, 4, 10,11,20,22,44,55 и 110; а 284 -1,2,4,71 и 142. Получаем, что
220 =1 + 2 + 4 + 10+11+20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
284 = 1 +2 + 4 + 71 + 142 = 220.
АДРИЕН МАРИ ЛЕЖАНДР
Научная жизнь Лежандра (1752- 1833) началась под счастливой звездой. Он обладал выдающимися интеллектуальными способностями и достаточным состоянием, чтобы посвятить себя работе, ни на что не отвлекаясь. Успехов в математике Лежандр добился не сразу. Вместе с Лапласом он сделал важные разработки в области астрономии, открыв многочлены, позже названные многочленами Лежандра, зашел на малоизвестную территорию эллиптических функций и теории чисел, в рамках которой ему удалось, как он считал, решить старую задачу о квадратичном законе взаимности. Но в его исследовании были ошибки, как впоследствии установил Карл Фридрих Гаусс. За свои астрономические работы Лежандр был принят в члены Лондонского королевского общества. Он также участвовал в работе комиссии по созданию десятичной метрической системы, входившей в программу всеобщей рационализации, начатой после Французской революции. Хотя Лежандр и разделял многие революционные идеи, в эпоху Террора он был вынужден скрываться и потерял свое состояние. После этого он переписал и издал "Начала" Евклида с точки зрения того времени и современным языком, получив оглушительный и долгий успех у читателей. Придя к власти, Наполеон сразу же взял Лежандра под свою протекцию. Ученый, бывший к тому времени уже известным академиком, занялся изучением движения комет, разработал метод наименьших квадратов для вычисления траекторий, опередив на сей раз Гаусса. К этому же периоду относятся его исследования по распределению простых чисел, которое, как он предположил, подчинялось асимптотическому закону:
Это значение, очень близкое к современному, впоследствии совпало с фундаментальной теоремой о распределении простых чисел. Гаусс здесь оказался первым, но он так и не опубликовал свои результаты.
Приложение
1. ЛОГАРИФМЫ И НЕПЕР
Джон Непер (1550-1617) может по праву считаться изобретателем логарифмов. Он нарисовал две прямые линии следующим образом: на первой отложил отрезок с концами А и В, а параллельно ему провел прямую из точки А'. Затем он предположил, что есть некое тело, которое скользит по бесконечной прямой с постоянной скоростью. В каждой точке X' на прямой он отмечал соответствующую точку на отрезке АВ, но не случайным образом: X двигался со скоростью, равной расстоянию ХВ. Взяв х = ВХ и у = А'Х', Непер создал свой логарифм:
у - logx.
Непер взял AB - 10
7, что привело его к довольно сложным алгебраическим равенствам. Если N — число, a L — логарифм, то Непер вычислил N = 10
7 (1-10
-7)
L. Мы получаем
Здесь уже появляется постоянная е, так как
(1 - 10-
7)10
7 ≈ 1/e.
Во многих старинных трактатах говорится о логарифмах Непера, или натуральных. Здесь мы имеем дело с путаницей, потому что натуральные логарифмы — это логарифмы по основанию е, в то время как все (почти) логарифмы Непера имеют основание 1/е. Это почти одно и то же, они различаются лишь знаком, а не абсолютным значением:
logeN = -log1/eN.
Сегодня для каждого положительного вещественного числа N, когда N - a
L, мы говорим, что L — логарифм N по основанию а, и записываем: L = loga N.
Если мы задумаемся, то увидим, что логарифм основания всегда равен 1, и это его основополагающее свойство.
Самые распространенные основания — это а = 10,а = 2 и а- = е. Логарифмы по основанию 10 называются десятичными, по основанию 2 — двоичными, по основанию е — натуральными. Для натуральных логарифмов используется знак InN вместо log N.
Важным аспектом логарифма является то, что с его помощью упрощаются арифметические вычисления. Например:
Ν1 · Ν2 = a
L1 · a
L2 = a
L1+L2
⇒ loga(N1 · N2) = L1 + L2 = logaN1 + logaN2.
Таким образом, логарифм произведения равен сумме логарифмов его множителей.
Если мы сделаем таблицу с двумя величинами, числами и десятичными логарифмами, то сможем сложить логарифмы и при помощи таблиц легко узнать произведение. И хотя сегодня можно без труда произвести умножение электронными калькуляторами, во времена, когда они еще не существовали, операция, помогающая заменить сложные расчеты в случаях произведений больших величин на простое сложение, имела огромное практическое значение.
2. БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА
Проследим за хитроумными рассуждениями Эйлера, но не будем забывать, что в некоторых местах они должны быть доработаны. Позже это сделал сам ученый. Возьмем знаменитый ряд Тейлора:
sinx = x - x
3/3! + x
5/5! - x
7/7! + ...
Мы знаем, что он равен нулю при х равном нулю, то есть если sinx = 0, когда х = 0, ± π, ±2π, ±3π...
Следовательно, предположив, что ряд ведет себя как многочлен, поскольку он и является длиннейшим многочленом, применение фундаментальной теоремы алгебры преобразит его в произведение одночленов вида х - α, где α — решение. Продолжим:
x - x
3/3! + x
5/5! - x
7/7! + ... = K(x)(x - π)(x + π)(x - 2π)(x + 2π)...
К — неизвестная константа. Производя вычисления в правой части равенства:
x - x
3/3! + x
5/5! - x
7/7! + ... = K(x)(x
2 - π
2)(x
2 - 4π
2)(x - 9π
2)...
следует отметить, что каждый член вида х
2 - λ
2π
2 справа равен нулю. А это происходит, только если
1 - х
2/(λ
2π
2) = 0.
Запишем члены правого выражения в следующей форме:
x - x
3/3! + x
5/5! - x
7/7! + ... = K(x)(1 - x
2/π
2)(1 - x
2/4π
2)(1 - x
2/9π
2)...
Теперь разделим на x:
sinx/x = 1 - x
2/3! + x
4/5! - x
6/7! + ... = K(1 - x
2/π
2)(1 - x
2/4π
2)(1 - x
2/9π
2)...
И, поскольку limx→0(sinx/x) = 1, получим, что K = 1. Итак:
1 - x
2/3! + x
4/5! - x
6/7! + ... = (1 - x
2/π
2)(1 - x
2/4π
2)(1 - x
2/9π
2)...
Этот ряд равен бесконечному произведению. Для Эйлера это не проблема. Подсчитаем порядок произведения и выделим члены произведения с x
2 в правой части:
- x
2/3! = -x
2/π
2 - x
2/4π
2 - x
2/9π
2 - ...
Разделив обе части на -x
2/π
2, получим
π
2/6 = 1+ 1/2
2 + 1/2
3 + 1/4
2 + ...,
что и требовалось доказать.
3. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Эйлер был первым