5a. Электричество и магнетизм

Глава 5 ЗАКОНА ГАУССА ПРИМЕНЕНИЯ

§ 1.Электростатика— это есть закон Гаусса плюс...

§2.Равновесие в электростати­ческом поле

§3. Равновесие с проводниками

§4. Устойчивость атомов

§5.Поле заряженной прямой линии

§6. Заряженная плоскость; пара плоскостей

§7.Однородно заряженный шар; заряженная сфера

§8.Точен ли закон Кулона?

§9. Поля проводника

§10.Поле внутри полости проводника

§ 1. Электростатика—это есть закон Гаусса плюс...

Существуют два закона электростатики: поток электрического поля из объема пропор­ционален заряду внутри него — закон Гаусса, и циркуляция электрического поля равна нулю — Е есть градиент. Из этих двух законов следуют все предсказания электростатики. Но одно дело высказать эти вещи математически, и совсем другое — применять их с легкостью и с нужной долей остроумия. В этой главе мы будем заниматься только такими расчетами, которые могут быть проделаны непосредственно на основе закона Гаусса. Мы докажем неко­торые теоремы и опишем некоторые эффекты (в частности, в проводниках), которые на основе закона Гаусса очень легко понять. Сам по себе закон Гаусса не может дать решения ни одной задачи, потому что должны быть выпол­нены и какие-то другие законы. Значит, приме­няя закон Гаусса к решению частных задач, нужно всегда к нему что-то добавлять. Мы должны, например, заранее делать какие-то предположения о том, как выглядит поле, осно­вываясь, скажем, на соображениях симметрии. Или должны будем особо вводить представление о том, что поле есть градиент потенциала.

§ 2. Равновесие в электростатическом поле

Рассмотрим сначала следующий вопрос: в каких условиях точечный заряд может пребы­вать в механическом равновесии в электриче­ском поле других зарядов? В качестве примера представим себе три отрицательных заряда в вершинах равностороннего треугольника, расположенного в горизонтальной плоскости.

Фиг. 5.1. Если бы точка Р0 от­мечала положение устойчивого рав­новесия положительного заряда, то электрическое поле повсюду в ее окрестности было бы направлено к Р0 .

Останется ли на своем месте положительный заряд, помещенный в центр тре­угольника? (Для простоты тяжестью пренебрежем; но и учет ее влияния не изменит выводов.) Сила, действующая на поло­жительный заряд, равна нулю, но устойчиво ли это равнове­сие? Вернется ли заряд в положение равновесия, если его чуть сдвинуть с этого места? Ответ гласит: нет.

Ни в каком электростатическом поле не существует никаких точек устойчивого равновесия, за исключением случая, когда заряды сидят друг на друге. Применяя закон Гаусса, легко по­нять почему. Во-первых, чтобы заряд пребывал в равновесии в некоторой точке Р0, поле в ней должно быть равно нулю. Во-вторых, чтобы равновесие было устойчивым, требуется, чтобы смещение заряда из Р0в любую сторону вызывало восстанав­ливающую силу, направленную против смещения. Векторы электрического поля во всех окрестных точках должны показы­вать внутрь — на точку Р0 . Но как легко видеть, это нарушает закон Гаусса, если в Р0нет заряда.

Возьмем небольшую воображаемую поверхность, окружаю­щую точку Р0(фиг. 5.1). Если повсюду вблизи Р0электрическое поле направлено к Р0, то поверхностный интеграл от нормаль­ной составляющей определенно не равен нулю. В случае, изоб­раженном на фигуре, поток через поверхность должен быть от­рицательным числом. Но, согласно закону Гаусса, поток электрического поля сквозь любую поверхность пропорциона­лен количеству заряда внутри нее. Если в Р0нет заряда, то изображенное нами поле нарушит закон Гаусса. Уравновесить положительный заряд в пустом пространстве, в точке, в которой нет какого-нибудь отрицательного заряда, невозможно. Но если положительный заряд размещен в центре распределенного от­рицательного заряда, то он может находиться в равновесии. Конечно, распределение отрицательного заряда должно само удерживаться на своем месте посторонними, неэлектрическими силами!

Этот вывод мы проделали для точечного заряда. Соблю­дается ли он для сложной расстановки зарядов, относительное расположение которых чем-то фиксировано (скажем, стерж­нями)? Разберем этот вопрос на примере двух одинаковых зарядов, закрепленных на стержне. Может ли эта комбинация в каком-то электрическом поле застыть в равновесии?

Фиг. 5.2. Заряд может быть в равновесии, если имеются механические ограничения.

И опять ответ гласит: нет. Суммарная сила, действующая на стержень, не способна возвращать его к положению равновесия при любых направлениях смещения.

Обозначим суммарную силу, действующую на стержень ' в любом положении, буквой F. Тогда F — это векторное поле. Повторяя те же рассуждения, что и выше, мы придем к заклю­чению, что в положении устойчивого равновесия дивергенция F должна быть числом отрицательным. Но суммарная сила, действующая на стержень, равна произведению первого заряда на поле в том месте, где он находится, плюс произведение вто­рого заряда на поле в том месте, где он находится:

(5.1)

Дивергенция F дается выражением

Если каждый из двух зарядов q1и q2находится в свободном пространстве, то и С·Е1, и С·Е2 равны нулю, и С·F тоже нуль, а не отрицательное число, как должно было бы быть при рав­новесии. Дальнейшее расширение этого доказательства пока­жет, что никакая жесткая комбинация любого числа зарядов не способна замереть в положении устойчивого равновесия в электростатическом поле в пустом пространстве.

Но мы не собираемся доказывать, что если заряд может скользить по стержням или опираться на другие механические связи, то равновесие все равно невозможно. Это не так. Возьмем для примера трубку, в которой заряд может свободно двигаться вперед и назад (но не в сторону). Теперь легко устроить элект­рическое поле, которое на концах трубки направлено внутрь нее (при этом близ центра трубки ему разрешается быть на­правленным наружу, в сторону). Для этого надо просто поместить по положительному заряду на каждом конце трубки (фиг. 5.2). Теперь точка равновесия существует даже в том случае, когда дивергенция Е равна нулю. Конечно, заряд не оказался бы в устойчивом равновесии, если бы не «неэлектрические» силы от стенок трубки.

§ 3. Равновесие с проводниками

В