исходных чисел в том порядке, в каком они были записаны вначале, и вы убедитесь, насколько это трудоемкое и нудное занятие.

1.3. Приведенная на рис. 1, а запись есть не что иное, как запись поразрядного сложения многозначных чисел, отличающаяся от обычной тем, что в ней не требуется запоминать никаких цифр при переносе из одного разряда в другой. Так, при сложении цифр единиц всех слагаемых получается 20, что и записано в первой строке под чертой. При сложении цифр десятков всех слагаемых получается 34, что и записано в следующей строке (разумеется, не прямо под предыдущим числом, а со сдвигом на один разряд влево), и т. д.

На рис. 1, б приведена запись умножения чисел 345 и 578, в которой действия произведены в необычном порядке. Сначала перемножены цифры единиц и в первой строке записан результат 40. Затем перемножены последовательно такие пары цифр, которые дают число десятков произведения,- это пары 4, 8 и 5, 7 - и записаны результаты 32 и 35. Далее перемножены пары цифр, дающие число сотен, произведения, и т. д.

Наиболее труден для расшифровки, видимо, рис. 1, в, который отличается от предыдущего только тем, что в нем сложены и записаны в соответствующих местах числа единиц, десятков, сотен и т. д., полученные при умножении чисел 345 и 578. В первой строке под чертой записаны справа налево двузначное число единиц 40, затем двузначное число сотен 24 + 28 + 25 = 77 (заметьте, что именно сотен, а не десятков - в противном случае произошло бы неизбежное "наложение" одних чисел на другие, что повлекло бы за собой дополнительные трудности) и, наконец, двузначное число десятков тысяч 15. В следующей строке записаны аналогично двузначное число десятков 32+35=67 и двузначное число тысяч 21 + 20 = 41.

1.4. Пусть на левой руке загнуто a пальцев, а на правой - b пальцев. Тогда сами сомножители равны 5+a и 5+b соответственно, а их произведение равно

(5+a) (5+b) = 25+5а+5b+ab = 10а+10b+(25-5а-5b+ab) = 10 (а+b) + (5-а) (5-b), где 5-а и 5-b - как раз количества незагнутых пальцев на левой и правой руке соответственно. Таким образом, предложенный способ умножения на пальцах дает верный результат.

1.5. При умножении однозначного числа а на 9 предложенным способом мы получаем, что слева от а-го (поднятого) пальца находится а - 1 пальцев, а справа 10 - а пальцев, т. е. искомое произведение равно

10 (а - 1) + (10 - а) = 10а - 10 + 10 - а = 9а, что и требовалось объяснить.

1.6. Так как 9а = 10а-а, то для умножения числа а на 9 достаточно от увеличенного в 10 раз числа а отнять само число а. Например, при а = 437 имеем

437*9 = 4370-437 = 3933. Аналогично вместо умножения числа а на 99 или на 999 можно умножить его на 100 или на 1000 соответственно, а потом отнять само число а, например,

437*99 = 43 700 - 437 = 43 363, 437*999 = 437 000 - 437 = 436 563. В общем случае умножения на числа, близкие к степени десятки, поступаем аналогично, например,

437*997 = 437(1000-3) = 437 000 - 1311 = 435 689. 1.7. Так как

63 475 = 634*100 + 75 = 634*99 + 634 + 75 = 634*99 + 6*100 + 34 + 75 = 634*99 + 6*99 + 6 + 34 + 75 = 640*99 + 115 = 641*99 + 16, то частное от деления данного числа на 99 равно 641, а остаток 16. Так как

63 475 = 634*98 + 634*2 + 75 = 634*98 + 6*98*2 + 6*2*2 + 34*2 + 75 = 646*98 + 24 + 68 + 75 = 647*98 + 69, то частное от деления на 98 равно 647, а остаток 69. Так как

63 475 = 634*102 - 634*2 + 75 = 634*102 - 6*102*2 + 6*2*2 - 34*2 + 75 = 622*102 + 24 - 68 + 75 = 622*102 + 31, то частное от деления на 102 равно 622, а остаток 31.

1.8. Вместо умножения числа а на 5 можно, и это действительно проще, разделить его на 2 и умножить на 10, поскольку Аналогично вместо деления числа а на 5 можно, наоборот, умножить его на 2 и разделить на 10, поскольку Например, имеем

1275*5 = 637,5*10 = 6375, 1275:5 = 2550:10 = 255. 1.9. Так как 25 = ¹⁰⁰/4, то справедливы формулы 25а = ^а/4 *100 и ^а/25 = ^4а/100 пользуясь которыми, например, получаем

786*25 = 78 600:4 = 19650, 786:25 = 4*7,86 = 31,44. Что же касается умножения и деления на 125, то здесь аналогично получаем формулы правые части которых также реализуются в уме, например,

786*125 = 786 000:8 = 98 250, 786:125 = 8*0,786 = 6,288. 1.10. Учитывая равенства

мы можем умножение произвольного числа на 2,5 заменить делением удесятеренного числа на 4, умножение на 1,25 - прибавлением четверти числа или делением удесятеренного числа на 8, умножением на 1,5 - прибавлением половины числа, умножение на 0,75 - вычитанием четверти числа. Так, справедливы выкладки

179*2,5 = 1790:4 = 447,5, 179*1,25 = 179 + 179:4 = 179 + 44,75 = 1790:8 = 223,75, 179*1,5 = 179 + 179:2 = 179 + 89,5 = 268,5, 179*0,75 = 179 - 179:4 = 179 - 44,75 = 134,25. Наконец, умножение на 15 и на 75 можно представить соответственно как умножение на 1,5 и на 0,75 с последующим умножением соответственно на 10 и на 100, например

34*15 = (34 + 17)10 = 510, 34*75 = (34 - 8,5)100 = 2550. 1.11. При последовательном умножении числа на возрастающие степени двойки, т. е. при последовательном удвоении, можно фиксировать те числа, сумма или разность которых дает искомое произведение. Так, умножение числа 139 на 14 = 2⁴ - 2¹ можно провести следующим образом:

139*14 = 139*2⁴ - 139*2¹ = 2224 - 278 = 1946 (здесь, разумеется, использованы выкладки, приведенные в условии задачи). Аналогично умножение на 35 = 2⁶ + 2¹ + 2⁰ можно провести так:

139*35 = 139*2⁶ + 139*2¹ - 139*2⁰ = 4448 + 278 + 139 = 4865. 1.12. Деление на степень двойки можно провести в такой же последовательности, как умножение, описанное в формулировке задачи 1.11, но, естественно, с заменой операции умножения операцией деления, например,

139:32 = 69,5:16 = 34,75:8 = 17,375:4 = 8,6875:2 = 4,34375. 1.13. Пусть надо перемножить два числа вида 1a^- и 1b^-. Тогда имеем равенства

(10+а)(10+b) = 100 + 10а + 10b + ab = 10(а+b) + 100 + ab, которые подтверждают правильность предложенного в условии задачи способа.

1.14. Из равенства

(100-а) (100-b) = (100-а)100 - 100b + ab = 100 ((100-a)-b) + ab, где а и b - дополнения первого и второго сомножителя до 100 соответственно, вытекает правильность предложенного способа.

1.15. Ответ получен из верного равенства

(1000-а) (1000-b) = (1000-а)1000 - 1000b + ab = 1000 ((1000-a) - b) + ab при а = 13 и b = 4. Таким образом, для перемножения двух трехзначных чисел, близких к 1000, достаточно вычесть из одного числа дополнение второго до 1000 и, увеличив разность в 1000 раз, прибавить к ней произведение дополнений исходных чисел до 1000.

1.16. Пусть нужно перемножить числа 10а+b и 10а+с, удовлетворяющие условию b+с = 10. Тогда имеем

b>(10а+b)(10а+с) = 100а² + 10aс + 10bа + bс = 100а² + 10а(b+с) + bс = 100а² + 100а + bс = 100а(а+1) + bc, что и требовалось доказать.

1.17. Для возведения в квадрат числа, оканчивающегося на 5, достаточно отбросить у него последнюю цифру, а затем перемножить полученное число