доверия.

Наивысшую степень инвариантности вещей, пространств, времен гарантирует нам топология. И потому мы вместе с принцем Датским и майором Ковалевым оцениваем топологический порядок выше, чем числовой.

Во всем множестве приключений, которые могут случиться с вещью в любом из миров, известных науке, наибольшую «выживаемость» обнаруживают топологические структуры. Они характеризуют объект с наиболее глубокой стороны и поэтому по праву считаются самыми фундаментальными. Да и логически они первичны: все теоремы, доказанные в топологической геометрии, автоматически справедливы и для проекционной и для евклидовой. Исторически же построение математики продвигалось от открытия и изучения метрических и — далее — проекционных структур к топологическим.

Однако простые опыты, которые вы можете провести с ребенком, обнаружат весьма странную вещь. Впрочем, эти опыты уже провел швейцарский психолог Жан Пиаже. И показал, что становление геометрических структур у ребенка полностью отвечает логическому строению математики и, напротив, противостоит ее историческому развитию.

Как только в каракулях ребенка начинает проглядывать какой-то смысл (3–4 года), он чутко реагирует именно на топологические признаки вещей. Например, он легко отделит замкнутую фигуру от открытой («замкнутость»), предмет с отверстием — от сплошного предмета («связность»). Но только через несколько лет он заметит различия между прямолинейными и криволинейными фигурами, то есть отреагирует на метрику пространства.

А что происходит в школах? Во всех странах мира геометрию начинают изучать приблизительно в 11 лет. Начинают сразу с измерений (метрической, евклидовой геометрии), а заканчивают основами топологии в университетах. Стихийно сложилось так, что фазы обучения повторяют исторический путь создания математики, но зато они вступают в противоречие с естественными способностями человека. Традиционное академическое обучение не только не извлекает никакой пользы из «самоорганизации» ребенка, но и тормозит ее.

Как ни важны эти результаты для школьной педагогики, значение их этим далеко не исчерпывается. Самый дальний замысел Пиаже — заинтересовать ими не математиков-учителей, а математиков-теоретиков. В самом деле, почему ребенок, чьими ошибками мы привыкли забавляться, удивительным образом ухитряется чувствовать в вещах самое главное — с математической и логической точек зрения? Почему «археология» мышления повторяет «архитектуру» математики?

Ведущий систематизатор современности Николай Бурбаки утверждает, что в основании грандиозного здания всей математики лежат три «великие материнские структуры»: алгебра, топология и порядок. Но то, что он делает исключительно из соображений логической завершенности, получает совершенно неожиданное обоснование в фактах детской психологии. Оказывается, ребенок тоже начинает свою сознательную жизнь с освоения этих структур. Другой факт: в представлении о пространстве — времени ребенку, как выяснилось в опытах Пиаже, легче усвоить исходную точку зрения Эйнштейна, чем Ньютона!

Не следует ли из всего этого, что ученым надо рекомендовать творческие командировки в ясли — на предмет извлечения из детского лепета великих законов природы? Если ребенок «чувствует» логику строения современной науки, то не получается ли, что человеку едва не с пеленок уже дана та полнота знания, которая науке стоила героических усилий? Быть может, достаточно покопаться в себе самом, чтобы вытащить все это на свет божий?

К этому как будто и приглашала религия. Развивая известное положение об истине, глаголемой устами младенца, она утверждала, что высшую правду бог скрыл от книжников и фарисеев, но открыл «немудрым».

Едва ли надо говорить, что факты, о которых шла речь, говорят во славу не младенца, а современной науки.

Детские формы «контакта» с миром отвечают простейшему, исходному строению интеллекта. Разумеется, ребенок ничего не знает о топологии и никогда сам по себе не узнает о ней. А вот отзываться на самые обобщенные и устойчивые формы закона, заложенного в вещах, он должен. Если язык топологии — новейшей науки — внятен ребенку, значит, математика подбирается сегодня к основам основ порядка, заложенного в природе.

Топология отражает порядок, одинаково характерный для любой ступени организации материи. Но если даже «дезорганизовать» материю, вывернуть ее до простейшего нутра — все равно останется некоторый минимум организованности. Он-то и будет топологическим, и он универсален и прост.

В топологии математика подошла к изучению качества вещей. Для своих специальных нужд она выработала понятия настолько универсальные, что по уровню своей общности они сближаются с философскими категориями.

Иронически и в то же время серьезно Марвин изобразил разбитое сердце, блуждающего коня, солнце, которое не светит, и луну, которая не восходит.

Шекли

Вспомним теперь про других «геометров» — про племя художников, из века в век призывающих видеть мир глазами ребенка.

Если бы в XIX веке математика спросили: что будет, если квадрат, нарисованный на бумаге, увеличить, скажем, в миллиард раз, он пожал бы плечами и сказал: «Да ничего…»

Но сегодня уже и школьник знает, что любая геометрическая фигура, если позволить ее размерам выйти за пределы земных масштабов, исказится. Как только мерой сторон квадрата станут космические расстояния, эти стороны выгнутся, углы перестанут быть прямыми. Словом, квадрат деформируется так, как предписано ему кодексом небесной геометрии Лобачевского (или Римана). Столь же неожиданным образом поведет себя квадрат и в микромире — сильные электромагнитные или гравитационные поля «размоют» его метрику.

Один из великих маэстро, умеющих и в старости «относиться ко вселенной так, будто ей не более суток от роду», — французский художник Анри Матисс как-то обмолвился, что если бы понадобилось увеличить формат полотна в 10 раз, то он не смог бы ограничиться простым увеличением всех его размеров. Пришлось бы, сказал он, изменять и пропорции.

Зачем? Не затем ли, что в своей художнической деятельности человек давно «отреагировал» на то тонкое, хотя и фундаментальное, отличие метрики пространства от его топологии, которое открыто естествознанием совсем недавно и до сих пор остается достоянием чистой теории?

Художник всегда чувствовал в вещах свойства более глубокие, чем только метрические или проекционные. Не потому ли он тысячелетиями деформирует образы вещей?

Геометрические формы