Петр Путенихин Векторные свойства гравитационного потенциала

Гравитационный потенциал

Гравитационные взаимодействия характеризуются двумя основными понятиями – силой гравитационного притяжения и гравитационным потенциалом. Хотя очевидно, что сила гравитационного притяжения является вектором, уравнение закона всемирного тяготения, тем не менее, записывают в виде скаляра. В связи с этим отметим одно интересное наше наблюдение. Если какая-то величина может иметь отрицательное значение, то такую величину определённо можно считать вектором. В частности, закон всемирного тяготения иногда пишут со знаком минус

При этом нередко уточняется, что знак минус означает притяжение. Логически это легко объяснимо. Если масса находится в начале координат, то все положительные векторы направлены "наружу", от этого начала. Но сила притяжения направлена извне в сторону тела, в сторону начала координат. То есть, её можно рассматривать как отрицательный скаляр, так и как вектор, направленный в сторону начала координат. Но если эта величина, сила является вектором по указанной выше минусовой причине, записать это можно в следующей векторной форме

Знак минуса отбрасываем, поскольку направление силы теперь определяется вектором. Поскольку в записи под знаком вектора имеются константы, их можно вынести

Запись, как видим, приобрела более явный векторный вид. Однако в знаменателе присутствует квадрат вектора или, по меньшей мере, произведение вектора на самого себя

Известны два произведения векторов: векторное и скалярное. В нашем случае скалярное произведение неприменимо, поскольку его результат – скаляр, то есть, уравнение перестаёт быть векторным. Но и векторное произведение нас не устраивает, поскольку в этом случае направление вектора уже не совпадает с направлением силы. Выход только один: один из одинаковых сомножителей в знаменателе должен потерять статус вектора

На первый взгляд, это ничем не обоснованный произвол в записи уравнения. В сущности, величиной вектора мы можем считать и квадрат скаляра. Но пока рассмотрим другой вариант, ведущий к интересным выводам. Перепишем уравнение ещё раз с учетом разделения сомножителей

(1)

Замечаем, что левый сомножитель в последнем равенстве выглядит как традиционный гравитационный потенциал тела M, но записанный в векторной форме. Насколько это оправдано? Почему не обозначить вектором второй, правый сомножитель, а первый оставить в прежней, не векторной форме? Конечно, это возможно и до данного момента используется повсеместно, но в этом случае векторная форма второго сомножителя приобретает весьма неясную форму. А вот векторная форма гравитационного потенциала приобретает весьма осмысленный вид с далеко идущими последствиями.

Действительно, сила притяжения двух тел пропорциональна модулю такого векторного гравитационного потенциала и направлена строго по соединяющей два тела линии. Иначе говоря, налицо признаки вектора: величина (длина) и направление. Более того, если поменять местами массы, то получим

(2)

теперь уже это уравнение гравитационного потенциала малого тела. Очевидно, что направление вектора, его знак в этом случае меняются на противоположные. То есть, вновь мы получаем достаточно осмысленное соотношение. Кстати, можно заметить, что запись для гравитационного потенциала в несколько ином виде была бы более наглядна:

(3)

Запись гравитационного потенциала, левого сомножителя в форме вектора придало бы уравнению более определённый смысл. А именно: величина силы в точке нахождения малого, так называемого пробного тела равна произведению его массы на значение потенциала. Но эта форма записи уже "занята" – это ускорение свободного падения. Если сократить уравнения на эту малую, внешнюю массу, получим соотношение

(4)

Теперь можно заметить, почему мы не использовали в качестве вектора обратную величину квадрата расстояния. Бесспорно, что вектором в выражении (3) может быть только величина в скобках, левый сомножитель, поскольку масса определённо величина не векторная. Это выражение является одной из записей закона Ньютона – сила равна произведению массы на ускорение. То есть, в этом выражении (3) векторная величина в скобках является ускорением. В нашем случае это вполне определённое ускорение – ускорение свободного падения на тело (планету) массой M.

Если сократить выражение (3) на массу m, то получим инверсную запись закона Ньютона (4). Как видим, ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела. В этом выражении (4) мы также можем вынести за векторные скобки скалярные величины.

(5)

Два правых крайних сомножителя тождественны до векторного "звания". Здесь у нас нет никакого выбора, какой из них вектор – вектором может быть только один из этих двух тождественных величин. Вместе с тем, отметим, что средний сомножитель (6) сам по себе имеет довольно туманный векторный смысл

(6)

Введём новый термин – близость по аналогии с терминами электротехники – сопротивление и проводимость, являющимися взаимно обратными величинами. Соответственно, в законе гравитации такими взаимно обратными величинами можно считать удалённость и близость.

Следует признать, что вектор близости или, тождественно, обратной величины удалённости в уравнении (6) сам по себе имеет весьма туманный, неопределённый смысл. Однако, в уравнении имеется "свободный", скалярный сомножитель, левый. Конечно, куда его поместить, как говорится, дело вкуса. Однако, замечаем некоторое сходство