Мария Изабель Бинимелис Басса «Мир математики» № 10 «Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия»

Моему доверенному лицу в мире фракталов Антони Бенсени и в память о Хуане Фемениасе

Предисловие

40 лет назад никто не слышал о фракталах. Ученые имели определенное представление о них, но даже самого понятия «фрактал» тогда еще не существовало. В своей книге «Новый ум короля» профессор Роджер Пенроуз придерживается мнения, что математика — это череда открытий уже существующего, а не изобретений нового. Математические объекты — это некие идеальные представления, которые отражают кажущийся порядок в определенных аспектах окружающего нас мира.

Облака, деревья, молнии, сталактиты и даже павлиний хвост — все эти объекты можно описать с помощью фрактальной геометрии подобно тому, как Землю можно представить в форме шара, а моллюсков-наутилусов — в виде спирали. Земля не является идеальной сферой или идеальным эллипсоидом. Однако подобная модель очень полезна, например, при вычислении времени и места затмений, и обеспечивает достаточную точность.

Перелом в описании Вселенной произошел, когда ученые обратили внимание на новые геометрические объекты, ранее считавшиеся случайными или не имеющими особого значения. Эти новые объекты имели неравномерную, а порой и хаотичную структуру. В попытках структурировать этот «беспорядок» были найдены правила, которые до этого игнорировались, шаблоны, которые повторялись при разном масштабе наблюдений. Именно тогда, как объясняет Нассим Николас Талеб в своей книге «Черный лебедь», все элементы головоломки, известные еще Платону, Ципфу и Юлу, сошлись в руках Бенуа Мандельброта. Согласно Талебу, именно Мандельброт связал случайность (на поверку оказавшуюся мнимой) и геометрию и тем самым привел вопрос к логическому завершению. Чтобы подтвердить свою теорию, ему пришлось обратиться к работам никому не известных на тот момент математиков.

Спустя некоторое время обнаружились множественные взаимосвязи между этим новым разделом математики и другими науками: биологией, геологией, урбанистикой, технологией и даже искусством. Почти одновременно с этим на свет появилось гак называемое множество Мандельброта, где в результате простого последовательного возведения числа в квадрат появляется удивительное по красоте и сложности изображение. Оно не только является порождением нашего разума, но и содержит в себе особый мир.

Математические обозначения находятся вне времени: они описывают реальность, в которой мы живем, и одновременно выходят далеко за рамки материального мира. С момента зарождения цивилизации человек стремился познать законы Вселенной. Фракталы — это новый взгляд на мир, который мы только-только начали постигать.

Глава 1 Развитие геометрии: Мандельброт против Евклида

С давних пор люди пытались понять строение космоса. Они стремились найти законы Вселенной, которым подчиняется движение планет и форма галактик, искали формулы, позволяющие предсказать падение предметов, старались понять полет птиц, изучали анатомию живых существ и строение человеческого разума.

В целом космос делится на две части: микрокосмос и макрокосмос. Макрокосмосом называют множество объектов Вселенной, которые по размерам сопоставимы с нашей планетой, Солнечной системой, галактикой или созвездиями. Микрокосмос, напротив, образуют все объекты, которые по размерам сопоставимы с человеком или даже меньше его. Например, сюда относятся органы нашего тела, вирусы и молекулы. Человеку всегда было интересно то, что нельзя увидеть или предсказать, и это любопытство двигало его в дали макрокосмоса и в глубины микрокосмоса.

Еще с древних времен считалось, что между микрокосмосом и макрокосмосом есть взаимосвязь. В Древней Греции верили, что элементы всего сущего, начиная от макрокосмоса и заканчивая микрокосмосом, воспроизводятся по одним и тем же схемам и правилам. Древнегреческие философы, увидев, что соотношение 1,6180…, позднее названное золотым сечением, присутствует во всех явлениях природы, попытались дать этому рациональное объяснение и тем самым совершили первый шаг к унификации микро- и макрокосмоса. В арабских источниках 650 г. встречаются переведенные тексты изумрудной скрижали, которую, по легенде, написал Гермес Трисмегист (от его имени происходит слово «герметичный»). В изумрудной скрижали раскрываются тайны «первичнои материи» и ее видоизменении, описывается «великое делание» — основной рецепт алхимии. Вторая заповедь скрижали гласит: «То, что находится внизу, соответствует тому, что пребывает вверху; и то, что пребывает вверху, соответствует тому, что находится внизу, чтобы осуществить чудеса единой вещи». Основная цель алхимии — понять таинственную связь между микрокосмосом и макрокосмосом и тем самым обрести мудрость.

Желание греков унифицировать микро- и макромиры нашло отражение в недавно появившемся разделе математики. В одной из многочисленных областей геометрии рассматриваются два основных понятия: самоподобие и непрерывность. Оба эти понятия со временем постепенно уточнялись и дополнялись. Именно о них мы подробно поговорим далее и расскажем о некоторых весьма интересных математических конструкциях.

МАКРОКОСМОС И МИКРОКОСМОС

Американский архитектор финского происхождения Ээро Сааринен говорил о необходимости создания многомерной модели реальности. По его словам, при проектировании всегда следует начинать с больших и меньших объектов, что поможет в конце концов найти оптимальный вариант. Сааринен вдохновил американского архитектора и дизайнера Чарлза Имза на создание научно-популярного короткометражного фильма «Десятые степени» (1968). Имз снял его совместно со своей супругой Рэй Имз на основе книги Киза Боеке «Космический взгляд» (1957). Книга состояла из последовательности изображений разного размера, начиная от масштабов нашей галактики и до картин «человеческого масштаба». На ее страницах можно увидеть человека в городском парке и еще меньшие изображения, показывающие микрокосмос живых существ и строение материи. Центральные части всех снимков и рисунков совпадают; тем самым образуется взаимосвязь между