соотношению е∙d — 1 = 0 (mod ф(n)) то есть существует целое значение k, такое, что е∙d — 1 = k∙ф(n) или е∙d = k∙ф(n) + 1. Используя это и формулу Эйлера, получим:

(m^e)^d = m^ed = m ^kф(n)+1= m ^kф(n)∙m = (m ^ф(n))^k∙m  1^km (mod n) = m (mod n).

Это и есть нужный нам результат.

2. Если НОД (m,n) 1 и n = р∙q, тот содержит или только множитель р, или только q, или оба одновременно.

Пусть m содержит только множитель р. Тогда, во-первых, m кратно р, то есть существует целое число r, такое, что m = rр. Поэтому m^de  0 (mod р) или m^de = m (mod р), другими словами, существует значение А, такое, что:

m^de — m = Ар. (1)

Во-вторых, мы имеем:

(m^e)^d = m^ed = m^{k ф(n)+1} = m ^{k ф(n)}∙m = (m^ф(n))^k∙m = (m^(q-1))^k(p-1)∙m.

Так как НОД (m, n) = р, НОД (m, q) = 1, то по теореме Ферма m^(q-1)  1 (mod q).

Подставим это в предыдущее выражение.

(m^e)^d = m^ed = m^{k ф(n)+1} = m ^{k ф(n)}∙m = (m^ф(n))^k∙m = (m^(q-1))^k(p-1)∙m  1^k (р-1)∙m  m (mod q).

Откуда мы заключаем, что существует значение В, такое что:

m^de — m = Вq. (2)

Из (1) и (2) следует, что разность (m^de — m) делится на n = рq, поэтому

m^de — m  0 (mod n).

Аналогично это доказывается для случая, когда m содержит только множитель q.

В случае, когда m кратно и р, и q одновременно, результат тривиален. Следовательно,

(m^е)^d  m (mod n).

Таким образом, мы продемонстрировали математическую основу алгоритма RSA.

Список литературы

Fernandez, S., Classical Cryptography. Sigma Review No. 24, April 2004.

Garfunkel, S., Mathematics in Daily Life, Madrid, COMAP, Addison-Wesley, UAM, 1998.

Gomez, J., From the Teaching to the Practice of Mathematics Barcelona, Paidos, 2002.

Kahn, D., The Codebreakers: The Story of Secret Writing, New York, Scribner, 1996.

Издание на русском языке: Кан Д. Взломщики кодов. — М.: Центрполиграф, 2000.

Singh, S., The Secret Codes, Madrid, Editorial Debate, 2000.

Tocci, R., Digital Systems: Principles and Applications, Prentice Hall, 2003.

Издание на русском языке: Тончи Р. Цифровые системы. Теория и практика. — М.: Вильямс, 2004.

* * *

Научно-популярное издание

Выходит в свет отдельными томами с 2014 года

Мир математики

Том 2

Жуан Гомес

Математики, шпионы и хакеры.

Кодирование и криптография.

РОССИЯ

Издатель, учредитель, редакция:

ООО «Де Агостини», Россия

Юридический адрес: Россия, 105066,

г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1

Письма читателей по данному адресу не принимаются.

Генеральный директор: Николаос Скилакис

Главный редактор: Анастасия Жаркова

Старший редактор: Дарья Клинг

Финансовый директор: Наталия Василенко

Коммерческий директор: Александр Якутов

Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук

Менеджер по продукту: Яна Чухиль

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:

© 8-800-200-02-01

Телефон горячей линии для читателей Москвы:

© 8-495-660-02-02

Адрес для писем читателей:

Россия, 170100, г. Тверь, Почтамт, а/я 245,

«Де Агостини», «Мир математики»

Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).

Распространение:

ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»

УКРАИНА

Издатель и учредитель:

ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина

Юридический адрес: 01032, Украина,

г. Киев, ул. Саксаганского, 119

Генеральный директор: Екатерина Клименко

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:

© 0-800-500-8-40

Адрес для писем читателей:

Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостiнi»,

«Мир математики»

Украïна, 01033, м. Кiев, а/с «Де Агостiнi»

БЕЛАРУСЬ

Импортер и дистрибьютор в РБ:

ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,

ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,

тел./факс: +375 17 331 94 27

Телефон «горячей линии» в РБ:

© + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)

Адрес для писем читателей:

Республика Беларусь, 220040, г. Минск,

а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,

«Мир математики»

КАЗАХСТАН

Распространение:

ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»

Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:

Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2

35010 Trebaseleghe (PD) Italy

Подписано в печать: 31.07.2013

Дата поступления в продажу на территории России: 28.01.2014

Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».

Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 4,5.

Уел. печ. л. 5,832.

Тираж: 200 000 экз.

© Joan Gomez, 2010 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2010

© ООО «Де Агостини», 2014

ISBN 978-5-9774-0682-6

ISBN 978-5-9774-0639-0 (т. 2)