считать? Своих детей? Дни переходов от одной стоянки до другой? Не было ни денег, ни исчисления времени, ни счета дней в году… И когда люди встречались с большими количествами чего-то, туманное «много» их вполне удовлетворяло.

И все же, несмотря на всю неопределенность и расплывчатость, в этом «много» уже был заключен первый шаг к познанию бесконечности. Ведь «много» для первобытного человека — это то, что лежало за пределами его возможностей, то, чего он не мог, не в состоянии был сосчитать.

Еще один шаг к осознанию бесконечности, как ни покажется странным, был совершен нашими далекими предками в результате наблюдения жизни и смерти. Умирал соплеменник. Первобытным людям трудно было осознать в полной мере это событие, понять, что произошло. Еще вчера человек был, сидел рядом со всеми у костра, вместе со всеми ходил на охоту. И вот его нет…

Но в снах он и после этого являлся живущим, значит, продолжал жить. Невольно складывалось впечатление, что человек не умирает никогда. Хотя, разумеется, в те времена люди еще не могли всерьез задумываться над проблемой вечной жизни.

«Никогда» — оборотная сторона того, что обозначено словом «всегда». Должны были пройти еще долгие века, прежде чем человек сумел понять всю глубину, сложность и противоречивость этих понятий. Но впервые он столкнулся с ними уже на заре цивилизации.

Даже нашим современникам, привыкшим к абстрактным размышлениям и операциям с огромными числами, бесконечность представляется чем-то в высшей степени загадочным. Первобытные же люди мыслили конкретно. И все, что невозможно было представить, казалось им таинственным и непостижимым, приобретало в их глазах фантастический, а по существу религиозный смысл.

Между прочим, подобный источник религиозных взглядов, связанный с невозможностью наглядного представления тех или иных явлений природы, действовал на протяжении всей сознательной истории человечества. Существует он и по сей день.

И бесконечность как одно из самых абстрактных понятий, с которым когда-либо приходилось встречаться науке, играла в этом смысле не последнюю роль. Справедливо подметил немецкий исследователь Макс Мюллер, что «религия возникает из давления бесконечного на конечное». Это, разумеется, не единственная и не самая главная причина религиозных представлений, но тем не менее она действовала в прошлом, продолжает действовать и сейчас.

Уже в глубокой древности люди стали прибегать к помощи больших чисел. Хотя для их изображения они чаще всего использовали всевозможные сравнения.

На гробнице египетских жрецов, например, можно встретить надписи, относящиеся к XIV веку до нашей эры, где большие числа описывались так: «как число песку берега моря», «как вес горы, взвешенной на весах», «как листьев на деревьях».

В одной из индийских легенд о Будде рассказывается, будто бы еще в детстве он был подвергнут испытанию в математике и, постепенно переходя ко все более крупным числам, дошел до таких, которые изображали все песчинки, содержащиеся в миллионе (в переводе на современное исчисление) рек, подобных Гангу.

А вот с помощью какого сравнения описывает восточная притча вечность во времени: «Вот алмазная гора высотой в тысячу локтей. Раз в столетие прилетает птичка и точит свой клюв о гору. Когда она сточит всю гору, пройдет первое мгновение вечности».

В дальнейшем, с развитием математического счета, человек естественно и закономерно пришел к числовой бесконечности. Если прибавлять к единице единицу за единицей, мы будем получать все большие и большие числа. Но подобную операцию можно повторять сколько угодно раз. Значит, самого большого числа не существует? Значит, натуральный ряд не имеет, конца, он ничем не ограничен, он теряется где-то в необозримых числовых пространствах?..

Возможно, именно так, задумавшись над операцией последовательного прибавления единицы, наши предки однажды лицом к лицу столкнулись с проблемой коночного и бесконечного.

На первой ступени познание природы человеком носило созерцательный характер и было неотделимо от наглядных представлений о мире, от тех сведений, которые приносили об окружающем органы чувств и прежде всего зрение. Человек стремился выразить неизвестное через наблюдаемое известное, объяснить новые предметы через те, которые уже познаны. По мере дальнейшего развития науки развертывался обратный процесс — человек стал объяснять видимое через скрытое и невидимое.

Один из первых шагов в этом направлении совершили мыслители Древней Греции.

Древние греки и бесконечность

В VII–V веках до нашей эры поразительных успехов добилась греческая философия, которая дала науке целый ряд гениальных догадок и смогла подняться до постановки многих кардинальных проблем, сохранивших свою актуальность и до сегодняшнего дня.

Среди таких проблем, привлекавших внимание древнегреческих мыслителей, важное место занимала проблема бесконечного.

Именно тогда были заложены основы современной математической науки, которая стремится ответить не только на вопрос «как?», по и на вопрос «почему?». Этим математика греков с самого начала отличалась от математики Востока, где ученые почти не занимались теорией.

Вообще древние греки не выделяли математику из общего знания. Их философия была натурфилософией, охватывавшей и математику и физику. И потому первоначально философское и математическое понятия бесконечности были слиты в древнегреческой науке воедино.

Отцом греческой математики, как гласит предание, был родовитый гражданин города Милета, богатый купец Фалес (конец VII века — начало VI века до н. э.), В первой половине VI столетия он посетил Вавилон и Египет и познакомился там с немалым числом научных открытий.

Но, судя по всему, это отнюдь не было простое заимствование. Фалес не просто знакомил своих соотечественников с научными положениями египтян и вавилонян, но стремился доказать их справедливость.

По свидетельству историков, Фалес был патриархом греческих мудрецов, первым изобретателем геометрии у греков, самым сведущим наблюдателем небесных светил. Он определил продолжительность года, изучал движение Луны и планет, атмосферные явления и многое другое.

Ему дважды доставался золотой треножник, который по повелению дельфийского оракула присуждался мудрейшему из эллинов.

Именно в милетской школе философов, основанной Фалесом, и появилось впервые в древнегреческой науке понятие бесконечности.

К сожалению, история не сохранила сведений о том, как Фалес сам понимал бесконечность. Но его преемник и последователь