единицах. В приведенной выше таблице мы однако же используем традиционные единицы, которые существовали до открытия вращательной физики Ялды. Данные, собранные Ялдой на горе Бесподобная, показали, что если временной интервал отождествляется с расстоянием, пройденным голубым светом за соответствующее время, то соотношение между пространственной и временной частотами принимает простую форму, упомянутую выше. Таким образом, множитель, соответствующий переходу от традиционных единиц к «геометрическим», равен скорости голубого света ublue, и, следовательно,
(ublue × κ2) + ν2 = νmax2
Значения в таблице выражены в различных единицах измерения, которые были выбраны таким образом, чтобы все количественные показатели состояли из двух или трех цифр. Если мы добавим множитель для согласования единиц измерения, то соотношение примет вид:
(78/144 × κ2) + ν2 = νmax2
Теперь скорость света определенного оттенка можно выразить простым отношением расстояния, пройденного светом, к длине соответствующего интервала времени. Импульсы света на первой диаграмме проходят расстояние AC за время BC, поэтому u = AC/BC. Воспользовавшись выведенными соотношениями между AC, BC и пространственной частотой κ, а также BC, BE и временной частотой ν, мы получим:
u = κ/ν
С традиционными единицами измерения эту формулу опять-таки можно использовать только после добавления соответствующего переводного коэффициента:
u = (ublue × κ)/ν
После подстановки частот из приведенной выше таблицы, последнее выражение принимает вид:
u = (78/144 × κ)/ν
Скорость, о которой до сих пор шла речь, – это безразмерная величина, зависящая от наклона линии, описывающей историю светового импульса на пространственно-временной диаграмме. (На наших диаграммах временная ось вертикальна, а пространственная горизонтальна, поэтому скорость фактически обратна наклону). Домножив безразмерную скорость на 78, то есть скорость голубого света, выраженную в пропастях на паузу, мы получаем значения в традиционных единицах, приведенных в таблице.
Путешественники Бесподобной придумали способ умножения и деления четырехмерных векторов, позволяющий построить на их основе полноценную числовую систему, похожую на более знакомые нам вещественные и комплексные числа. В нашей культуре эта система носит название кватернионов и была открыта Уильямом Гамильтоном в 1843 г. Подобно тому, как вещественные числа образуют одномерную прямую, а комплексные числа – двумерную плоскость, кватернионы формируют четырехмерное пространство, что делает их идеальной числовой системой для описания геометрии в четырех измерениях. В нашей Вселенной полноценное использование кватернионов невозможно в силу принципиального отличия между временем и пространством, однако в Ортогональной Вселенной геометрия 4-пространства и арифметика кватернионов органично сочетаются друг с другом. В том варианте, который применяется жителями Бесподобной, главные направления четырехмерного пространства-времени называются Восток, Север, Верх и Будущее, а соответствующие им противоположные направления – Запад, Юг, Низ и Прошлое. Будущее играет роль единицы: при умножении или делении произвольного вектора на Будущее он не меняется. При возведении в квадрат любого из трех других главных направлений – Восток, Север и Верх – всегда получается Прошлое, или минус единица, поэтому в данной числовой системе существуют три независимых квадратных корня из минус единицы; для сравнения, в системе комплексных чисел такой корень всего один – это i. (Разумеется, что при возведении в квадрат противоположных направлений – Запад, Юг и Низ – также получается Прошлое по аналогии с тем, как в системе комплексных чисел квадрат –i также равен –1, однако эти направления не считаются независимыми квадратными корнями). Умножение в данной системе не обладает свойством коммутативности: a × b, вообще говоря, не совпадает с b × a.
Каждому ненулевому вектору v соответствует обратный вектор, обозначаемый v-1, и удовлетворяющий следующему соотношению: v × v-1 = v-1 × v = Будущее Так, Восток-1 = Запад, Север-1 = Юг, Верх-1 = Низ, а Будущее-1 = Будущее. В первых трех случаях обратный вектор совпадает с противоположным, но в общем случае это неверно. Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v-1 : Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный: (v × w)-1 = w-1× v-1 Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему. (v × w)-1 × (w-1× v-1) = v × Будущее× v-1 = Будущее (w-1× v-1)× (v × w)-1 = w-1 × Будущее× w = Будущее Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов: u / (v × w)= u × (v × w)-1 = u × w-1× v-1 = (u / w)/ v Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям: v = a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D: w = A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей: v × w = = (a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее)× (A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее) = × = aA∙ Восток × Восток + aB∙ Восток × Север + + aC∙ Восток × Верх + aD∙ Восток × Будущее + + bA∙ Север × Восток + bB∙ Север × Север + + bC∙ Север × Верх + bD∙ Север × Будущее + + cA∙ Верх × Восток + cB∙ Верх × Север + + cC∙ Верх × Верх + cD∙ Верх × Будущее + + dA∙ Будущее × Восток + dB∙ Будущее × Север + + dC∙ Будущее × Верх + dD∙ Будущее × Будущее = = (aD + bC – cB + dA) ∙ Восток + + (–aC + bD + cA + dB) ∙ Север + + (aB – bA + cD + dC) ∙ Верх + + (–aA — bB – cC + dD) ∙ Будущее Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного
Приложение 3. Умножение и деление векторов
Путешественники Бесподобной придумали способ умножения и деления четырехмерных векторов, позволяющий построить на их основе полноценную числовую систему, похожую на более знакомые нам вещественные и комплексные числа. В нашей культуре эта система носит название кватернионов и была открыта Уильямом Гамильтоном в 1843 г. Подобно тому, как вещественные числа образуют одномерную прямую, а комплексные числа – двумерную плоскость, кватернионы формируют четырехмерное пространство, что делает их идеальной числовой системой для описания геометрии в четырех измерениях. В нашей Вселенной полноценное использование кватернионов невозможно в силу принципиального отличия между временем и пространством, однако в Ортогональной Вселенной геометрия 4-пространства и арифметика кватернионов органично сочетаются друг с другом. В том варианте, который применяется жителями Бесподобной, главные направления четырехмерного пространства-времени называются Восток, Север, Верх и Будущее, а соответствующие им противоположные направления – Запад, Юг, Низ и Прошлое. Будущее играет роль единицы: при умножении или делении произвольного вектора на Будущее он не меняется. При возведении в квадрат любого из трех других главных направлений – Восток, Север и Верх – всегда получается Прошлое, или минус единица, поэтому в данной числовой системе существуют три независимых квадратных корня из минус единицы; для сравнения, в системе комплексных чисел такой корень всего один – это i. (Разумеется, что при возведении в квадрат противоположных направлений – Запад, Юг и Низ – также получается Прошлое по аналогии с тем, как в системе комплексных чисел квадрат –i также равен –1, однако эти направления не считаются независимыми квадратными корнями). Умножение в данной системе не обладает свойством коммутативности: a × b, вообще говоря, не совпадает с b × a.
Каждому ненулевому вектору v соответствует обратный вектор, обозначаемый v-1, и удовлетворяющий следующему соотношению: v × v-1 = v-1 × v = Будущее Так, Восток-1 = Запад, Север-1 = Юг, Верх-1 = Низ, а Будущее-1 = Будущее. В первых трех случаях обратный вектор совпадает с противоположным, но в общем случае это неверно. Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v-1 : Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный: (v × w)-1 = w-1× v-1 Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему. (v × w)-1 × (w-1× v-1) = v × Будущее× v-1 = Будущее (w-1× v-1)× (v × w)-1 = w-1 × Будущее× w = Будущее Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов: u / (v × w)= u × (v × w)-1 = u × w-1× v-1 = (u / w)/ v Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям: v = a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D: w = A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей: v × w = = (a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее)× (A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее) = × = aA∙ Восток × Восток + aB∙ Восток × Север + + aC∙ Восток × Верх + aD∙ Восток × Будущее + + bA∙ Север × Восток + bB∙ Север × Север + + bC∙ Север × Верх + bD∙ Север × Будущее + + cA∙ Верх × Восток + cB∙ Верх × Север + + cC∙ Верх × Верх + cD∙ Верх × Будущее + + dA∙ Будущее × Восток + dB∙ Будущее × Север + + dC∙ Будущее × Верх + dD∙ Будущее × Будущее = = (aD + bC – cB + dA) ∙ Восток + + (–aC + bD + cA + dB) ∙ Север + + (aB – bA + cD + dC) ∙ Верх + + (–aA — bB – cC + dD) ∙ Будущее Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного