приводит к росту стоимости европейских опционов прямо пропорционально величине. Следовательно, чем выше неустойчивость стоимости базисного актива, тем выше стоимость европейских опционов.
Преобразуем соотношения (10.45) и (10.46) к виду
Из данных соотношений следует, что коэффициенты и фактически являются относительной стоимостью европейских опционов «колл» и «пут». На рис. 10.7 представлены графики зависимостей коэффициентов и от аргумента интеграла вероятностей.
Рис. 10.7. Графики зависимостей коэффициентов и от аргумента интеграла вероятностей
Анализ соотношений (10.45) и (10.46) и графиков на рис. 10.7 показывает, что при т. е. при относительно низкой цене исполнения, коэффициенты и. Другими словами при стоимость опциона «колл» линейно зависит от аргумента интеграла вероятностей, а стоимость опциона «пут» стремится к нулю. При т. е. при относительно высокой цене исполнения, коэффициенты и. Это означает, что при стоимость опциона «колл» стремится к нулю, а стоимость опциона «пут» линейно зависит от аргумента интеграла вероятностей. При т. е. при, коэффициенты. Графически такой характер зависимостей коэффициентов проявляется в симметрии кривых и относительно оси ординат. Используя соотношения (10.14) — (10.24), а также соотношения (10.43) и (10.44), находим формулы для расчёта математических ожиданий доходностей опционов за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения, а также формулы для расчёта математических ожиданий годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут»
где и — математические ожидания годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут» соответственно для покупателя; и — математические ожидания годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут» соответственно для продавца. Из соотношения (10.47) следует, что математические ожидания доходности европейских опционов «колл» и «пут» за промежуток относительного времени для продавцов и покупателей одинаковы и являются функцией непрерывно начисляемой ставки дисконтирования, а также промежутка относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения. Кроме того, минимальное значение математических ожиданий доходностей имеет место в момент исполнения опциона (т. е. при), а максимальное значение — достигается при максимальном значении (т. е. в день первичной продажи опциона). В частном случае, если премия не инвестируется в какой — либо актив и, ни покупатель опциона, ни его продавец в среднем не получат прибыли, т. е. математические ожидания доходностей опционов будет равна нулю. Поэтому владелец опциона заинтересован в инвестициях премии в высокодоходный актив, что позволит, во — первых, повысить математическое ожидание доходности опциона до. Во — вторых, согласно соотношениям (10.43) и (10.44) это позволит владельцу снизить стоимость опциона и тем самым увеличить математическое ожидание доходности опциона для потенциального покупателя также до. Следовательно, в инвестициях премии в высокодоходный актив заинтересован не только продавец опциона, но и его покупатель. В соответствии с формулами (10.43) и (10.44) экспоненциальный характер изменений математических ожиданий доходностей и от аргумента определяет постоянство математических ожиданий годовых доходностей и независимо от времени покупки европейского опциона. Поэтому при стоимости опционов, которые определяются формулами (10.43) и (10.44) за счёт постоянства математических ожиданий годовых доходностей привлекательность европейских опционов сохраняется на протяжении всего их срока действия. Для потенциального покупателя это обстоятельство обеспечивает равноценные условия для приобретения опционов в любой удобный для него момент времени. Однако для активной торговли опционами в течение всего срока их действия необходимо создание благоприятных условий и для продажи этой ценной бумаги в любой удобный момент времени. Математические ожидания капитальных доходностей европейских опционов за промежуток относительного времени после их приобретения определяются соотношениями (10.22) и (10.23). Для определения математических ожиданий годовых капитальных доходностей можно воспользоваться соотношением (10.24). В результате получаем для опциона «колл»:
где — математическое ожидание годовой капитальной доходности европейского опциона «колл»; для опциона «пут»:
где — математическое ожидание годовой капитальной доходности европейского опциона «пут». Из данных соотношений следует, что математическое ожидание годовой капитальной доходности европейских опционов «колл» и «пут» независимо от момента времени их перепродажи гарантированно обеспечит владельцу детерминированную доходность, но не более и не менее. Причём, поскольку, продажа опциона обеспечивает сравнительно низкую доходность, меньшую доходности актива, в который инвестируется премия. Поэтому для владельца опциона, который предпочтёт по какой — либо причине уклониться от риска, может быть выгодна продажа опциона с заведомо известной и относительно низкой детерминированной доходностью. Владелец опциона, который полагает риск ожидания успешного исполнения опциона оправданным, может рассчитывать на такую же, но среднюю доходность. Таким образом, при справедливой стоимости европейских опционов, достигаются условия обоюдной выгоды купли/продажи, как для продавца, так и для покупателя. Оценка американских опционов. Используя соотношения (10.37) — (10.40), а также (10.41) и (10.42) получаем уравнения
Решая данные уравнения, находим соотношения для расчёта стоимостей американских опционов «колл» и «пут» соответственно
Поскольку величины и (для опциона «колл»), и (для опциона «пут») функционально зависимы соответственно от и, то определение стоимостей американских опционов возможно лишь численными методами. В частном случае, при и, когда досрочное исполнение опционов маловероятно (например, в конце срока действия опционов), стоимости американских и европейских опционов практически одинаковы. В общем же случае стоимости американских и европейских опционов не могут не отличаться. Например, при и, т. е. когда досрочное исполнение опционов практически гарантировано, стоимости американских опционов определяются исключительно дисконтированными средними доходами от реализации досрочного исполнения
Для приближённых расчётов будем полагать, тогда
Из данных соотношений следует, что коэффициенты и фактически являются относительной стоимостью европейских опционов «колл» и «пут». На рис. 10.7 представлены графики зависимостей коэффициентов и от аргумента интеграла вероятностей.
Рис. 10.7. Графики зависимостей коэффициентов и от аргумента интеграла вероятностей
Анализ соотношений (10.45) и (10.46) и графиков на рис. 10.7 показывает, что при т. е. при относительно низкой цене исполнения, коэффициенты и. Другими словами при стоимость опциона «колл» линейно зависит от аргумента интеграла вероятностей, а стоимость опциона «пут» стремится к нулю. При т. е. при относительно высокой цене исполнения, коэффициенты и. Это означает, что при стоимость опциона «колл» стремится к нулю, а стоимость опциона «пут» линейно зависит от аргумента интеграла вероятностей. При т. е. при, коэффициенты. Графически такой характер зависимостей коэффициентов проявляется в симметрии кривых и относительно оси ординат. Используя соотношения (10.14) — (10.24), а также соотношения (10.43) и (10.44), находим формулы для расчёта математических ожиданий доходностей опционов за промежуток относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения, а также формулы для расчёта математических ожиданий годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут»
где и — математические ожидания годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут» соответственно для покупателя; и — математические ожидания годовых доходностей европейских опционов «колл» и «пут» соответственно для продавца. Из соотношения (10.47) следует, что математические ожидания доходности европейских опционов «колл» и «пут» за промежуток относительного времени для продавцов и покупателей одинаковы и являются функцией непрерывно начисляемой ставки дисконтирования, а также промежутка относительного времени между покупкой опциона и моментом его исполнения. Кроме того, минимальное значение математических ожиданий доходностей имеет место в момент исполнения опциона (т. е. при), а максимальное значение — достигается при максимальном значении (т. е. в день первичной продажи опциона). В частном случае, если премия не инвестируется в какой — либо актив и, ни покупатель опциона, ни его продавец в среднем не получат прибыли, т. е. математические ожидания доходностей опционов будет равна нулю. Поэтому владелец опциона заинтересован в инвестициях премии в высокодоходный актив, что позволит, во — первых, повысить математическое ожидание доходности опциона до. Во — вторых, согласно соотношениям (10.43) и (10.44) это позволит владельцу снизить стоимость опциона и тем самым увеличить математическое ожидание доходности опциона для потенциального покупателя также до. Следовательно, в инвестициях премии в высокодоходный актив заинтересован не только продавец опциона, но и его покупатель. В соответствии с формулами (10.43) и (10.44) экспоненциальный характер изменений математических ожиданий доходностей и от аргумента определяет постоянство математических ожиданий годовых доходностей и независимо от времени покупки европейского опциона. Поэтому при стоимости опционов, которые определяются формулами (10.43) и (10.44) за счёт постоянства математических ожиданий годовых доходностей привлекательность европейских опционов сохраняется на протяжении всего их срока действия. Для потенциального покупателя это обстоятельство обеспечивает равноценные условия для приобретения опционов в любой удобный для него момент времени. Однако для активной торговли опционами в течение всего срока их действия необходимо создание благоприятных условий и для продажи этой ценной бумаги в любой удобный момент времени. Математические ожидания капитальных доходностей европейских опционов за промежуток относительного времени после их приобретения определяются соотношениями (10.22) и (10.23). Для определения математических ожиданий годовых капитальных доходностей можно воспользоваться соотношением (10.24). В результате получаем для опциона «колл»:
где — математическое ожидание годовой капитальной доходности европейского опциона «колл»; для опциона «пут»:
где — математическое ожидание годовой капитальной доходности европейского опциона «пут». Из данных соотношений следует, что математическое ожидание годовой капитальной доходности европейских опционов «колл» и «пут» независимо от момента времени их перепродажи гарантированно обеспечит владельцу детерминированную доходность, но не более и не менее. Причём, поскольку, продажа опциона обеспечивает сравнительно низкую доходность, меньшую доходности актива, в который инвестируется премия. Поэтому для владельца опциона, который предпочтёт по какой — либо причине уклониться от риска, может быть выгодна продажа опциона с заведомо известной и относительно низкой детерминированной доходностью. Владелец опциона, который полагает риск ожидания успешного исполнения опциона оправданным, может рассчитывать на такую же, но среднюю доходность. Таким образом, при справедливой стоимости европейских опционов, достигаются условия обоюдной выгоды купли/продажи, как для продавца, так и для покупателя. Оценка американских опционов. Используя соотношения (10.37) — (10.40), а также (10.41) и (10.42) получаем уравнения
Решая данные уравнения, находим соотношения для расчёта стоимостей американских опционов «колл» и «пут» соответственно
Поскольку величины и (для опциона «колл»), и (для опциона «пут») функционально зависимы соответственно от и, то определение стоимостей американских опционов возможно лишь численными методами. В частном случае, при и, когда досрочное исполнение опционов маловероятно (например, в конце срока действия опционов), стоимости американских и европейских опционов практически одинаковы. В общем же случае стоимости американских и европейских опционов не могут не отличаться. Например, при и, т. е. когда досрочное исполнение опционов практически гарантировано, стоимости американских опционов определяются исключительно дисконтированными средними доходами от реализации досрочного исполнения
Для приближённых расчётов будем полагать, тогда