Гармония чисел

Золотая пропорция

Деление отрезка АС на две части таким образом, что больший отрезок АВ относится к меньшему ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (то есть, АВ: ВС=АС : АВ). Принцип З.п. используют в архитектуре, изобразительном искусстве.

Термин ввел Леонардо да Винчи.

Гармонический ряд

Это числовой ряд 1 + 1/2 + 1/3…+ 1/n…. Называют его так потому, что каждый член ряда, начиная со второго, равняется среднему гармоническому двух соседних.

Члены Г.р. с увеличением числа уменьшаются и приближаются к нулю, однако частичные суммы Sn = 1 + ½ + 1/3… + 1/n неограниченно возрастают.

Малая теорема Ферма

Невероятно, но факт: числа, составленные из одних 9, имеют удивительные свойства. Какое бы простое число p, отличное от 2 и 5, вы бы не взяли, всегда можно указать такое число, составленное из одних девяток, которое будет делиться на p. Например, на 3 делится 9; на 7 – число 999999; на 11 – число 99; на 13 – снова-таки 999999; на 17 – число 9999999999999999; на 19 – число 999999999999999999 и т.д.

Вот общая формула, получившая название Малой теоремы Ферма: если p – простое число, a – натуральное число, то а^р-а делится на p.

Простые числа

Натуральные числа большие, чем 1, которые делятся лишь на себя и единицу. Это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...

Количество П.ч. бесконечно.

В 2008 г. энтузиасты из проекта распределенных вычислений GIMPS обнаружили самое большое на сегодняшний день простое число, длина десятичной записи которого превышает 10 миллионов символов.

Простые числа Мерсенна

Это числа вида Мр = 2^р -1 , где р – простое число. До 1750 г. их было найдено всего 8.

И не удивительно: дело это весьма трудоемкое. Например, в рамках Международного проекта поиска простых чисел Мерсенна (тому, кто первым установит такое с более чем 10 миллионами знаков, Electronic Frontier Foundation выплатит премию в размере $100 тысяч) канадцу Майклу Камерону пришлось следить за работой 800-мегагерцового компьютера в течение 45 дней. Но он таки «вычислил» очередную таинственную «цифирь». На бумаге число выражается следующим образом – 2^13466917 – 1 и состоит из 4 миллиона 53 тысячи 946 знаков. Только на графическое изображение сего простого числа уйдет …три недели.

Математики Калифорнийского университета (США) продвинулись еще дальше: в 2008 г. они открыли простое число с 12978189 миллионов знаков. Оно стало 45-м известным числом М.

Что касается поиска простых чисел Мерсенна, имеющих вид 2ⁿ – 1, то 15 мая 2004 г. было открыто сорок первое из них – 2^24036583-1. В нем приблизительно на миллион цифр больше, чем в известном к тому времени другом наибольшем простом числе. Чтобы хоть как-то представит себя эту величину, можно вспомнить, что общее количество атомов во Вселенной записывается …всего девятью десятками цифр.

До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно количеств чисел Мерсенна.

Простые числа Ферма

Это числа 2^2k+1. При k = 0, 1, 2, 3, 4 это числа 3, 5, 17, 257, 65537.

Дружественные числа

Это такие два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел 220 и 284 были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы.

Следующая пара дружественных чисел – 17296 и 18416 (найдены в 1636 г.). Последующие числа открыли Декарт, Эйлер и Лежандр.

Шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году потряс математический мир сообщением в том, что числа 1184 и 1210 – тоже дружественные. Невероятно, но факт: пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели до тех пор все знаменитые математики мира.

Совершенные числа

Натуральные числа, которые равняются сумме всех своих делителей (за исключением самого числа). Например, 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Ученым известны свыше трех десятков С.ч. Наибольшее из них получаем при р = 132049 (это число с 39751 десятичным знаком). Соответствующее ему С. ч. 2⁸⁶²⁴² (2⁸⁶²⁴² – 1) имеет 79502 десятичных знаков.

Все известные до сегодняшнего дня С.ч. (их общее количество неизвестно) – парные. Не найдено ни одного непарного совершенного числа, хотя в его поисках проверены все числа вплоть до 10⁵⁰.

Брайен Такхерман (США) высказал предположение, что, если такое число и существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.

Идеальные числа

Совокупность чисел, принадлежащих к конкретному числовому кольцу (в случае произвольного кольца – совокупность его элементов) и имеющих следующие свойства:

1. Сумма и разность двух чисел данной совокупности принадлежит этой же совокупности;

2. Произведение числа из этой совокупности на любое другое число кольца также принадлежит этой же совокупности.

Пример: 3k + (2 + √-5)L, где K и L – любые целые рациональные числа.

Рациональные числа

Числа вида m/n, где m и n целые числа, а n не равняется нулю. В свою очередь, любое Р.ч. есть алгебраическое число.

Иррациональные числа

Числа, которые невозможно точно выразить с помощью дроби m/n, где m и n – целые числа. Они могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Например, 0,10100110001…, у которого количество нулей между единицами все время увеличивается на один или дробь, которая есть любое иррациональное число, напр., √3.

Трансцендентные числа

Числа, не удовлетворяющие ни одно алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами. Все они – иррациональные.

Например, это p = 3,1415926…; е = lim (1 + 1/n)n = 2,71828…; десятичный логарифм любого целого числа, которое не изображается единицей с нулями.

Фибоначчи числа

Числовая последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…, в которой каждый следующий член равняется сумме двух предшествующих.

Кстати, подобные числовые закономерности очень часто встречаются в природе. Так, черенки прилегают к стеблям по спирали, проходящей между двумя соседними листочками: 1/3 полного витка у орешника; 2/5 – у дуба; 3/8 – у тополя и груши; 5/13 – у плакучей ивы. Чешуйки елочной шишки, ячейки ананаса, семена подсолнуха в гренке тоже расположенные по спирали, причем количество спиралей каждого направления, как правило, – числа Фибоначчи.

Треугольные числа

В давние времена люди считали с помощью камешков и обратили внимание на то, что в ряде случаев их можно