разительные перемены, происшедшие в наших взглядах на природу и роль математики, более доступен и понятен прямой подход, свободный от второстепенных частностей и тем самым позволяющий выделить общие идеи.

Возможно, многие математики предпочли бы вести откровенный разговор о современном статусе своей науки в узком кругу профессионалов. Публичное обсуждение возникающих трудностей они считают таким же проявлением дурного вкуса, как разглашение перед посторонними семейных тайн. Но мыслящие люди должны отчетливо сознавать сильные и слабые стороны тех средств, которыми они располагают. Ясное понимание ограниченности (равно как и возможностей) того или иного подхода приносит несравненно больше пользы, чем слепая вера, способная исказить наши представления или даже привести нас к краху.

Я хотел бы поблагодарить сотрудников издательства «Оксфорд юниверсити пресс» за внимательное отношение к этой книге и выразить особую признательность Уильяму Ч. Халпину и Шелдону Майеру за понимание важности популярного изложения затронутых мной проблем, а также Леоне Кейплесс и Кертиссу Черчу за ценные замечания и критику. Моей жене Элен я обязан многочисленными исправлениями, внесенными ею при чтении рукописи и корректуры.

Пользуясь случаем, я хотел бы поблагодарить Математическую ассоциацию США за разрешение использовать в книге материалы из статей издаваемого ею журнала The American Mathematical Monthly («Американский математический ежемесячник»).

М. Клайн

Бруклин, штат Нью-Йорк

Январь 1980 г.

Введение: основной тезис

Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук.^{5}

Анри Пуанкаре

Одни трагедии порождают войны, голод, чуму, другие — в мире идей — вызваны ограниченностью человеческого разума. Эта книга — горестный рассказ о бедствиях, выпавших на долю математики — наиболее древнего и не имеющего себе равных творения людей, плода их неустанных и многообразных усилий, направленных на использование способности человека мыслить.

Можно также сказать, что эта книга на общедоступном уровне повествует о расцвете и закате величия математики. Позволительно спросить: уместно ли говорить об упадке математики в наше время, когда ее границы необычайно расширились, когда научная деятельность в области математики ведется во все возрастающих масштабах и достигла небывалого расцвета, когда ежегодно публикуются тысячи работ по математике, все большее внимание привлекают вычислительные машины и когда поиск количественных соотношений захватывает все новые области, особенно в биологических и социальных науках? В чем причина трагедии? Прежде чем ответить на эти вопросы, следует напомнить, какие достижения математики снискали ей высочайший престиж, всеобщее признание и славу.

С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания (у колыбели которой стояли древние греки) и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служило неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено.

За пределами самой математики математические понятия и выводы явились фундаментом замечательных научных теорий. И хотя новые факты устанавливались в результате сотрудничества математики и естествознания, опирающегося на данные, имеющие нематематический, скажем физический, характер, они казались столь же непреложными, как и принципы самой математики, потому что предсказания, которые делались на основе математических теорий в астрономии, механике, оптике и гидродинамике, необычайно точно совпадали с данными наблюдений и экспериментов. Математика давала ключ к глубокому постижению явлений природы, к пониманию, заменявшему тайну и хаос законом и порядком. Человек получил возможность с гордостью взирать на окружающий мир и заявлять, что ему удалось раскрыть многие тайны природы, по существу оказавшиеся серией математических законов. Убеждением в том, что истины открывают математики, проникнуто известное высказывание Лагранжа: «Ньютон был счастливейшим из смертных, ибо существует только одна Вселенная и Ньютон открыл ее законы».

Для получения своих удивительных, мощных результатов математика использовала особый метод — метод дедуктивных выводов из небольшого числа самоочевидных принципов, называемых аксиомами; этот метод знаком каждому школьнику — прежде всего из курса геометрии. Природа дедуктивного вывода такова, что она гарантирует истинность заключения, если только истинны исходные аксиомы. Очевидная, безотказная и безупречная логика дедуктивного вывода позволила математикам извлечь из аксиом многочисленные неоспоримые и неопровержимые заключения. Эту особенность математики многие отмечают и поныне. Всякий раз, когда нужно привести пример надежных и точных умозаключений, ссылаются на математику.

Успехи, достигнутые математикой с помощью дедуктивного метода, привлекли к ней внимание величайших мыслителей. Математика наглядно продемонстрировала возможности и силу человеческого разума. Почему бы не воспользоваться, спросили мыслители, столь хорошо зарекомендовавшим себя дедуктивным методом для постижения истин там, где прежде безраздельно властвовали авторитет, традиция и привычка, — в философии, теологии, этике, эстетике и в социальных науках? Человеческий разум, столь эффективный в математике и в математической физике, мог бы стать арбитром помыслов и действий также и в других областях, приобщив их к красоте истины и истинности красоты. В эпоху, получившую название эпохи Просвещения (или Века разума), методология математики и даже некоторые математические понятия и теоремы были применены к другим областям человеческой деятельности.

Обращение к прошлому — плодотворный источник познания настоящего. Созданные в начале XIX в. необычные геометрии и столь же