анализируется ниже.
Предположим, что имеются два портфеля активов А и В, доходы от которых имеют нормальную плотность распределения (1.2). Функция распределения уровня дохода портфеля или вероятность того, что случайный уровень дохода не превзойдёт значения, определяется как
Тогда при цене покупки портфеля вероятность отрицательной доходности портфеля (т. е. вероятность того, что) рассчитывается по формуле
Функции распределения уровней доходов портфелей и, т. е. вероятности того, что доходы портфелей А и В окажутся ниже установленного уровня, рассчитанные с использованием таблицы значений интеграла вероятностей (см. приложение 1) представлены в табл. 1.1 (см. табл. 7.1 в [1]). Таблица 1.1 Функции распределения уровней доходов портфелей А и В
, тыс. долл.
70 80 90 100 110 120 130 0 0 0,04 0,21 0,57 0,88 0,99 0,02 0,05 0,14 0,27 0,46 0,66 0,82
Для наглядности функции распределения уровней доходов портфелей А и В показаны графически на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Функции распределения уровней доходов портфелей А и В
В рассматриваемом примере [1] цена покупки портфелей одинакова и составляет тыс. долл., портфель А имеет МО доходности, а портфель В —. Это означает, что МО доходов портфелей составляют и тыс. долл. соответственно. Кроме того портфель А имеет СКО дохода тыс. долл., а портфель В — тыс. долл. Инвестору необходимо выбрать наиболее перспективный портфель активов — А или В. Другими словами, инвестор должен сопоставить два портфеля с различными инвестиционными качествами и выбрать (обоснованно или интуитивно) наилучший. Для инвестора такая задача является типовой. Анализ представленных в табл. 1.1 и на рис. 1.1 зависимостей, показывает, что инвестор может принять решение на основе сравнения вероятностей отрицательных доходностей портфелей [1]. Например, при цене покупки портфелей тыс. долл. вероятности отрицательной доходности портфелей составляют и. То есть вероятность отрицательной доходности у портфеля А ниже, чем у портфеля В. На этом основании в [1] сделан вывод, что портфель А с меньшим СКО дохода является менее рискованным, и по этой причине инвестор должен отдать этому портфелю предпочтение. Данный вывод обобщается для всех портфелей без исключения, а СКО дохода принимается в качестве меры инвестиционного риска портфеля активов. Проанализируем изложенное более детально. Исходя из практических соображений, инвестор может выбрать и другой подход, основанный на сравнении вероятностей положительных доходностей. Например, используя графики зависимостей на рис. 1.1, получаем и, и. То есть вероятности недостижения МО доходностей в 8 % и 12 % у портфеля А выше, чем у портфеля В. С этой точки зрения портфель с большим СКО является более доходным и, следовательно, для инвестора более привлекательным. На практике инвестор принимает то или иное решение не на основе сравнения СКО дохода, а, по крайней мере, на основе трёх взаимозависимых параметров активов: цены покупки; математического ожидания доходности; риска (вероятности отрицательной доходности). Естественно, при прочих равных условиях инвестор выберет наиболее дешёвый и доходный портфель с минимальной вероятностью отрицательной доходности. В некоторых частных случаях на основе анализа зависимостей, представленных на рис. 1.1, типовая задача выбора портфеля решается на основе логических умозаключений, например: Предположим, что цены покупки портфелей одинаковы и составляют тыс. долл. В точке пересечения зависимостей и вероятности отрицательных доходностей обоих портфелей одинаковы и равны. При равенстве двух параметров инвестор однозначно отдаст предпочтение портфелю В, который имеет большее МО доходности (МО доходности портфеля А составляет). Предположим, что цена покупки портфеля А составляет тыс. долл., а портфеля В — тыс. долл. При таких ценах покупки вероятности отрицательной доходности портфелей равны и составляют В этом случае инвестор отдаст предпочтение более дешёвому и доходному портфелю В , Предположим, что цена покупки портфеля А составляет тыс. долл., а портфеля В — тыс. долл. При таких ценах покупки портфелей вероятности отрицательной доходности составляют и, а их МО доходности — и. В этом случае инвестор отдаст предпочтение более дешёвому и доходному портфелю с минимальной вероятностью отрицательной доходности, т. е. портфелю А.
Таким образом, в результате достаточно простых умозаключений инвестор может отдать предпочтение как портфелю А, так и портфелю В. Значение вероятности отрицательной доходности в соответствии с соотношением (1.7) зависит не только от величины СКО дохода, но и от цены покупки портфеля и МО дохода. Следовательно, СКО дохода не может служить в качестве меры инвестиционного риска изолированно от цены покупки портфеля и МО дохода, а мерой автономного и портфельного рисков может быть только вероятность отрицательной доходности актива или портфеля активов. В общем случае решение проблемы выбора портфеля на основе логического анализа взаимозависимых параметров активов не представляется возможным. Например, задача выбора наилучшего из двух портфелей А и В (рис. 1.1) при одинаковых ценах покупки тыс. долл. на основе подобных логических умозаключений вряд ли разрешима. Для решения такой задачи необходим инструмент определения МО доходности актива, при которой компенсируется риск отрицательной доходности.
1.4. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение доходности портфеля активов С целью снижения инвестиционного риска инвесторы распределяют капитал, как правило, между несколькими видами ценных бумаг, т. е. формируют портфель активов. Следует отметить, что поскольку текущие курсы ценных бумаг являются случайными величинами, то и текущие стоимость и доходность портфеля активов также случайны. Из теории вероятностей известно следующее свойство композиции (суммы) случайных величин: при композиции достаточно большого числа случайных величин с произвольными плотностями распределения суммарная плотность распределения результирующей случайной величины оказывается сколь угодно близка к нормальной вне зависимости от того, каковы были плотности распределения слагаемых [2]. При композиции двух или более случайных величин с нормальными плотностями распределения результирующая случайная величина всегда имеет нормальную плотность
Тогда при цене покупки портфеля вероятность отрицательной доходности портфеля (т. е. вероятность того, что) рассчитывается по формуле
Функции распределения уровней доходов портфелей и, т. е. вероятности того, что доходы портфелей А и В окажутся ниже установленного уровня, рассчитанные с использованием таблицы значений интеграла вероятностей (см. приложение 1) представлены в табл. 1.1 (см. табл. 7.1 в [1]). Таблица 1.1 Функции распределения уровней доходов портфелей А и В
, тыс. долл.
70 80 90 100 110 120 130 0 0 0,04 0,21 0,57 0,88 0,99 0,02 0,05 0,14 0,27 0,46 0,66 0,82
Для наглядности функции распределения уровней доходов портфелей А и В показаны графически на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Функции распределения уровней доходов портфелей А и В
В рассматриваемом примере [1] цена покупки портфелей одинакова и составляет тыс. долл., портфель А имеет МО доходности, а портфель В —. Это означает, что МО доходов портфелей составляют и тыс. долл. соответственно. Кроме того портфель А имеет СКО дохода тыс. долл., а портфель В — тыс. долл. Инвестору необходимо выбрать наиболее перспективный портфель активов — А или В. Другими словами, инвестор должен сопоставить два портфеля с различными инвестиционными качествами и выбрать (обоснованно или интуитивно) наилучший. Для инвестора такая задача является типовой. Анализ представленных в табл. 1.1 и на рис. 1.1 зависимостей, показывает, что инвестор может принять решение на основе сравнения вероятностей отрицательных доходностей портфелей [1]. Например, при цене покупки портфелей тыс. долл. вероятности отрицательной доходности портфелей составляют и. То есть вероятность отрицательной доходности у портфеля А ниже, чем у портфеля В. На этом основании в [1] сделан вывод, что портфель А с меньшим СКО дохода является менее рискованным, и по этой причине инвестор должен отдать этому портфелю предпочтение. Данный вывод обобщается для всех портфелей без исключения, а СКО дохода принимается в качестве меры инвестиционного риска портфеля активов. Проанализируем изложенное более детально. Исходя из практических соображений, инвестор может выбрать и другой подход, основанный на сравнении вероятностей положительных доходностей. Например, используя графики зависимостей на рис. 1.1, получаем и, и. То есть вероятности недостижения МО доходностей в 8 % и 12 % у портфеля А выше, чем у портфеля В. С этой точки зрения портфель с большим СКО является более доходным и, следовательно, для инвестора более привлекательным. На практике инвестор принимает то или иное решение не на основе сравнения СКО дохода, а, по крайней мере, на основе трёх взаимозависимых параметров активов: цены покупки; математического ожидания доходности; риска (вероятности отрицательной доходности). Естественно, при прочих равных условиях инвестор выберет наиболее дешёвый и доходный портфель с минимальной вероятностью отрицательной доходности. В некоторых частных случаях на основе анализа зависимостей, представленных на рис. 1.1, типовая задача выбора портфеля решается на основе логических умозаключений, например: Предположим, что цены покупки портфелей одинаковы и составляют тыс. долл. В точке пересечения зависимостей и вероятности отрицательных доходностей обоих портфелей одинаковы и равны. При равенстве двух параметров инвестор однозначно отдаст предпочтение портфелю В, который имеет большее МО доходности (МО доходности портфеля А составляет). Предположим, что цена покупки портфеля А составляет тыс. долл., а портфеля В — тыс. долл. При таких ценах покупки вероятности отрицательной доходности портфелей равны и составляют В этом случае инвестор отдаст предпочтение более дешёвому и доходному портфелю В , Предположим, что цена покупки портфеля А составляет тыс. долл., а портфеля В — тыс. долл. При таких ценах покупки портфелей вероятности отрицательной доходности составляют и, а их МО доходности — и. В этом случае инвестор отдаст предпочтение более дешёвому и доходному портфелю с минимальной вероятностью отрицательной доходности, т. е. портфелю А.
Таким образом, в результате достаточно простых умозаключений инвестор может отдать предпочтение как портфелю А, так и портфелю В. Значение вероятности отрицательной доходности в соответствии с соотношением (1.7) зависит не только от величины СКО дохода, но и от цены покупки портфеля и МО дохода. Следовательно, СКО дохода не может служить в качестве меры инвестиционного риска изолированно от цены покупки портфеля и МО дохода, а мерой автономного и портфельного рисков может быть только вероятность отрицательной доходности актива или портфеля активов. В общем случае решение проблемы выбора портфеля на основе логического анализа взаимозависимых параметров активов не представляется возможным. Например, задача выбора наилучшего из двух портфелей А и В (рис. 1.1) при одинаковых ценах покупки тыс. долл. на основе подобных логических умозаключений вряд ли разрешима. Для решения такой задачи необходим инструмент определения МО доходности актива, при которой компенсируется риск отрицательной доходности.
1.4. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение доходности портфеля активов С целью снижения инвестиционного риска инвесторы распределяют капитал, как правило, между несколькими видами ценных бумаг, т. е. формируют портфель активов. Следует отметить, что поскольку текущие курсы ценных бумаг являются случайными величинами, то и текущие стоимость и доходность портфеля активов также случайны. Из теории вероятностей известно следующее свойство композиции (суммы) случайных величин: при композиции достаточно большого числа случайных величин с произвольными плотностями распределения суммарная плотность распределения результирующей случайной величины оказывается сколь угодно близка к нормальной вне зависимости от того, каковы были плотности распределения слагаемых [2]. При композиции двух или более случайных величин с нормальными плотностями распределения результирующая случайная величина всегда имеет нормальную плотность